极限存在法则

夹逼准则

\(如果数列\{ x_n\},\{ y_n\}及\{z_n\}满足下列条件:\) 1) 存在\(N,当n>N时,x_n< y_n < z_n\) 2) \(lim_{n\to \infty}x_n=lim_{n\to \infty}z_n=a,\) \(则lim_{n\to \infty}y_n=a\)

常用不等式\(sin\;x<x<tan\;x\quad 当x\in(0,\frac{\pi}{2})\)

重要极限\(lim_{x\to 0}\frac{sin\;x}{x}=1\)

单调有界准则

单调有界数列必有极限

常用不等式\(a_1*a_2*\cdot\cdot\cdot *a_n\leq(\frac{a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_n}{n})^n\)

证明\(lim_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n存在\) 1) 单调性 \((1+\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1}{n})*(1+\frac{1}{n})\cdot\cdot\cdot (1+\frac{1}{n})*1\leq(\frac{n+1+1}{n+1})^{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}\)

2) 有界性 \(\frac{1}{4}(1+\frac{1}{n})^n=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*(1+\frac{1}{n})*(1+\frac{1}{n})\cdot\cdot\cdot (1+\frac{1}{n})\leq(\frac{n+1+1}{n+2})^{n+2}=1\) \((1+\frac{1}{n})^n\leq4\)

\(lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)