无穷小的比较

定义1(无穷小量)若$lim_{x\to x_0}f(x)=0$,则称$f(x)$为当$x\to x_0$时的无穷小量.

定义2(无穷小的比较) 1) $若lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0则称\alpha(x)是\beta(x)的高阶无穷小$ 2) $若lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty则称\alpha(x)是\beta(x)的低阶无穷小$ 3) $若lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=a\neq0则称\alpha(x)是\beta(x)的同阶无穷小$ 4) $若lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1则称\alpha(x)是\beta(x)的等价无穷小$ $记为\alpha(x)\sim \beta(x)$ 5) $若lim\frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=a\neq 0,k>0则称\alpha(x)是\beta(x)的k阶无穷小$

常用等价无穷小 $sin\;x\sim x\sim tan\;x\sim arcsin\;x\sim arctan\;x$ $1-cos\;x \sim \frac{1}{2}x^2$

$当x\to0时,\sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac{1}{n}x$

二项式展开公式 $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

其中：

$n$ 是非负整数（若扩展可取任意实数或复数）
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 是二项式系数
当 $n$ 是正整数时，求和范围为 $k = 0, 1, \dots, n$
当 $n$ 是任意实数时，$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ 且和式是无穷的

例如：

\[ (a + b)^3 = \binom{3}{0}a^3 + \binom{3}{1}a^2 b + \binom{3}{2} a b^2 + \binom{3}{3} b^3 \]

\[ = a^3 + 3a^2 b + 3 a b^2 + b^3 \]

定理1 $\alpha(x)\sim \beta(x)的充要条件是\alpha(x)=\beta(x)+o(\beta(x))$ 定理2 $设\alpha(x)\sim \alpha_{1}(x),\beta(x)\sim\beta_{1}(x),且lim\frac{\alpha_{1}(x)}{\beta_{1}(x)}存在,则lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=lim\frac{\alpha_{1}(x)}{\beta_{1}(x)}$