数列极限

数列极限的定义

定义:\(\,\forall \epsilon> 0,当\exists n>N,时,有|x_n-a|<\epsilon\) 几何意义:\(\, \forall \epsilon>0,\exists N,当n>N,时,有x_n \in U(a,\epsilon)\)

收敛数列的性质

1) 证明唯一性: \(lim_{n \to \infty}x_n=a,\quad lim_{n\to \infty}x_n=b,假设a<b\) \(取\epsilon =\frac{b-a}{2},\exists N,当n>N\) \(|x_n-a|<\frac{b-a}{2},|x_n-b|<\frac{b-a}{2}\) \(a-\frac{b-a}{2}<x_n<a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}\quad \frac{a+b}{2}=b-\frac{b-a}{2}<x_n<b+\frac{b-a}{2}\) \(可知条件矛盾,所以数列极限具有唯一性\) 2) 有界性:收敛数列必有界 3) 保号性:若\(lim_{n \to \infty}x_n=a,且a>0(或a<0),则\exists N,当n>N时,都有x_n>0(x_n<0)\) 推论:\(如果存在N>0,当n>N时,x_n\ge 0(或x_n\le 0),则a\ge 0(或a\le 0)\) 4) 收敛数列与其子列之间的关系 \(lim_{n \to \infty}x_n=a\Leftrightarrow lim_{k \to \infty}x_{2k-1}=lim_{k \to \infty}x_{2k}=a\) 要求奇偶列有极限且极限相等才能推出原数列有极限

1.数列极限的"\(epsilon - N\)"定义能用来证明数列极限是否是a但不能用来求极限