函数的极限

函数极限的定义

1) 自变量趋于有限值时函数的极限 定义1\(\quad 设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域有定义若\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\) \(当0<|x-x_0|<\delta 时,恒有|f(x)-A|<\delta,则称A为x \to x_0时f(x)的极限.记作lim_{x \to x_0}f(x)=A\)

2) 左极限\(\quad lim_{x \to x^{-}_0}\;f(x)=f(x^{-}_0)=f(x_0-0)\) \(若\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当0<x_0-x<\delta 时,恒有|f(x)-A|<\delta\)

3) 右极限\(\quad lim_{x \to x^{+}_0}\;f(x)=f(x^{+}_0)=f(x_0+0)\) \(若\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当0<x-x_0<\delta 时,恒有|f(x)-A|<\delta\)

左右极限存在且相等就能证明极限存在

4) 函数极限与数列极限的关系: \(若lim_{x \to x_0}f(x)=A,且lim_{n \to \infty}x_n=x_0,x_n\neq x_0,则lim_{n\to \infty}f(x_n)=A\)