映射与函数

函数

1.函数的定义

定义:如果对于每个数\(x∈D\),变量\(y\)按照一定的法则总有一个确定的\(y\)和它对应,则称\(x\)是\(y\)的函数,记作\(y=f(x)\),常称\(x\)为自变量,\(y\)为因变量,\(D\)为定义域. - 定义域 \(D_f\)=\(D_.\) - 值域 \(R_f=f(D)=\{y \mid y=f(x),x\in D\}\)

函数概念有两个基本要素: 定义域,对应法则

2.函数的性质

(1)函数的有界性

设\(X \subset D\)

• 有上界: \(\forall x \in X, f(x) \leq M_1\)
• 有下界: \(\forall x \in X, f(x) \geq M_2\)
• 有界: \(\forall x \in X,|f(x)| \leq M\)
• 无界: \(\forall M>0,\exists x_0 \in X,使|f(x_0)|>M\)

(2)函数的单调性

设区间\(I \subset D\) - 单调增: \(\forall x_1,x_2 \in I,当x_1<x_2时,恒有f(x_1)<f(x_2)\) - 单调减: \(\forall x_1,x_2 \in I,当x_1<x_2时,恒有f(x_1)>f(x_2)\)

(3)函数的奇偶性

• 偶函数: \(f(-x)=f(x) \quad x\in D\)
• 奇函数: \(f(-x)=-f(x) \quad x\in D\) \(偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称,且若f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0\)

(4)函数的周期性

\(定义\quad 若存在实数T>0,对于任意x,恒有f(x+T)=f(x)则称y=f(x)为周期函数.\) \(使得上式成立的最小正数T称为最小正周期,简称为函数f(x)的周期\) 周期函数不一定有最小正周期

3.反函数与复合函数

反函数

\(定义\quad 设函数y=f(x)的定义域为D,值域为R_y.若对任意y\in R_y,有唯一确定的x\in D\) \(使得y=f(x),则记为x=f^{-1}(y)称其为函数y=f(x)的反函数\) 反函数关于\(y=x\)对称

复合函数

\(定义\quad 设y=f(u)的定义域为D_f,u=g(x)的定义域为D_g值域为R_g\) \(若D_f \cap R_g \neq \emptyset,则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数.\)

4.函数的运算

\(f\pm g:(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)\) \(f\cdot g: (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\) \(\frac{f}{g}:\frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)

5.初等函数

\(定义\quad 将幂函数,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数\) - 幂函数 \(y=x^{\mu} \quad(\mu为实数);\) - 指数函数 \(y=a^x \quad(a>0,a\neq 1)\) - 对数函数 \(y=log_a x \quad(a>0,a \neq 1)\) - 三角函数 \(y=sin\, x \quad y=cos\,x,y=tan\,x\quad y=cot\,x=\frac{1}{tan\,x}\) - 反三角函数 \(y=arcsin\,x\quad y=arccos\,x\quad y=arctan\,x\quad y=sec\,x=\frac{1}{cos\,x}\quad y=csc\,x=\frac{1}{sin\,x}\)